Kennen Sie die Wehrle-Formel für Dreiecke?
Die Wehrlezahl diverser Größen ist einfach das durch ihre Summe geteilte Produkt dieser Größen. Beispielsweise ist die Wehrlezahl der Tangentenabschnitte eines Dreiecks gerade das Quadrat des Inkreisradius. Im Beispiel der folgenden Abbildung ist sie 1x2x3 : (1+2+3)=1 und der Inkreisradius ist eins.
Die Wehrlezahl der drei Dreiecksseiten ist genau das doppelte Produkt der Radien ihres In- und Umkreises. In der folgenden Abbildung mit den Seiten 3, 4 und 5 ist die Wehrlezahl 3x4x5:(3+4+5)=5, dies ist gerade gleich dem Produkt des Inkreisradius 1 mit dem Umkreisdurchmesser 5. Wissen sie, dass in dem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse durch die Inkreisberührung in zwei Abschnitte geteilt, deren Produkt die Dreiecksfläche ist? Im Beispiel sind die Abschnitte 2 und 3 und die Fläche ist 2x3=6.
Die Tangentenabschnittskreise und Spiegelung am Inkreis.
Der Sinus-Wehrle
w (sin αi )= π sin αi : Σ sin αi = sin(α)*sin(β)*sin(π - α - β) /
[sin(α)+sin(β)+sin(π - α - β)] = r / (2R) ist das Verhältnis des Inkreisradius r zum Umkreisdurchmesser 2R
[sin(α)+sin(β)+sin(π - α - β)] = r / (2R) ist das Verhältnis des Inkreisradius r zum Umkreisdurchmesser 2R
Der Kosinus-Wehrle ist
w(cos αi) = cos(α)*cos(β)*cos(π - α - β)/
[cos(α)+cos(β)+cos(π - α - β)] = [u² - 4(r+2R)²] : [16R(R-r))]
Natürlich ist der Sinus-Wehrle dividiert durch den Cosinus-Wehrle nicht gleich dem Tangens-Wehrle. Der Tangens-Wehrle ist konstant 1.
[cos(α)+cos(β)+cos(π - α - β)] = [u² - 4(r+2R)²] : [16R(R-r))]
Natürlich ist der Sinus-Wehrle dividiert durch den Cosinus-Wehrle nicht gleich dem Tangens-Wehrle. Der Tangens-Wehrle ist konstant 1.
Der Cosinusquadrat-Wehrle
Die Fläche des Höhenfußpunkt-Dreiecks ist das k-fache der Fläche des Ausgangsdreiecks und zwar AF=k*A
K ist der Streckungsfaktor des Fußpunktdreiecks bezüglich des ähnlichen Tangentendreiecks.
